Børge Møller Grimstrup var oprindeligt uddannet og arbejdede som mejerist indtil han i en alder af næsten 40 år debuterede som skuespiller. Han blev uddannet på Eyvind Johan-Svendsens elevskole og fik sin teaterdebut på Frederiksberg Teater i 1945. Han optrådte på flere teatre i provinsen og i København bl.a. på Ungdommens Teater og Landsskolescenen, hvor han i 1967 spillede skolelæreren i Max Friis stykke "Andorra". Rollen som mælkekusken der mister sin hest i Don Olsen kommer til byen var som syet til Børge Møller Grimstrup. Børge Møller Grimstrup hører til den række af skuespillere som man husker, bare man nævner en rolle. Den rare købmand i Far til fire i byen, der giver Lille Per et stykke sukker til hunden. Den hjertevarme kusk i Charles tante. Den arrige pensionist i Støv på hjernen, hvis eneste replik er: Stille. Hans største virke var på teater og på TV, hvor han havde roller i "Præsten i Vejlby" og i TV-serierne "Regnvejr og ingen penge" og i "Smuglerne".

1961